LOGIKA MATEMATIKA

MATERI PEMBELAJARAN

“LOGIKA MATEMATIKA”

 

   

1. ASRI FAUZI      (10210054)

2. SURIADI           (10210095 )

SEMESETER / KELAS : IV B

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

( STKIP ) HAMZANWADI SELONG

LOGIKA MATEMATIKA

A.   Pernyataan dan Ingkarannya

1.    Pernyataan

      Pernyataan merupakan  kalimat yang hanya memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus keduanya benar dan salah.

contoh

1.    Jakarta Ibu kota Indonesia

2.    2+5 = 10

3.    Gradien garis y=3x + 6 adalah 3

Pernyataan pada nomor 1 dan 3 bernilai benar, dan pernyataan pada nomor 2 bernilai salah.

2.    Ingkaran Pernyataan / Negasi Pernyataan

Pernyataan yang menyangkal atau mengingkari pernyataan p disebut “ingkaran” atau “negasi” dari pernyataan p.

Ingkaran p atau negasi p dinyatakan dengan lambang ~p

Contoh :

i.          p       : ibu kota Negara Indonesia adalah Jakarta.      ( B )

~p        : ibu kota Negara Indonesia bukan Jakarta.       ( S )

ii.        p       : 2 + 5 = 7                                                                   ( B )

~p        : 2 + 5 ≠ 7                                                                   ( S )

Kesimpulan

Jika Pernyataan p bernilai benar, maka ~p bernilai Salah

Jika Pernyataan p bernilai salah, maka ~p bernilai benar  

Atau dapat disajikan dalam bentuk tabel kebenaran berikut :

p	~p
B S	S B

LATIHAN 1

1.    Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut :

a.    6 adalah factor dari 24

b.    Indonesia raya adalah lagu kebangsaan Indonesia

c.    2 adalah bilangan genap

d.    117 habis dibagi 9

2.    Tentukan ingkaran beserta nilai kebenaran berikut :

a.    5 adalah bilangan ganjil

b.    7 + 9 = 18

c.    2 x 4 > 7

B.   Disjungsi dan Konjungsi

1.    Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”.  Pernyataan p atau q, ditulis dengan lambang “p v q”.

Ingat !

a.    Jika salah satu dari p dan q benar atau p dan q keduanya benar,

maka p ˅ q bernilai benar.

b.    Jika p dan q keduanya salah, maka p ˅ q bernilai salah 

Tabel Kebenaran Disjungsi

p	q	p ˅ q
B B S S	B S B S	B B B S

Contoh :

a.    p     : 4 bilangan genap              ( B )

q     : 4 bilangan bulat                 ( B )

Jadi, p v q : 4 bilangan genap atau 4 bilangan bulat.

Nilai kebenarannya : B v B = B

b.    p     : 2 x 4 = 9                               ( S )

q     : 2 adalah bilangan ganjil   ( S )

Jadi, p ˅ q : 2 x 4 = 9 atau 2 adalah bilangan ganjil.

Nilai kebenaran : S ˅ S = S

LATIHAN 2

1.    Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut:

a.    6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima

b.    Diagonal-diagonal jajargenjang sama panjang atau saling tegak lurus

2.    Diket : pernyataan

p    : Ayah pergi ke kantor

q    : Ibu bekerja di rumah

r     : Saya belajar di sekolah

Tulislah dengan kalimat verbal pernyataan berikut

a.    p ˅ q               c. ~p ˅ q

b.    p ˅ q ˅ r          d. r ˅ ~q

Ø  Ingkaran / Negasi dari Disjungsi

Negasi dari disjungsi p ˅ q adalah ~ ( p ˅ q ) atau ~p ˄ ~q.

   ~(p ˅ q)  ~p ˄ ~q            

Bukti

p	q	~p	~q	p v q	~(p v q)	~p ˄ ~q
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B B B S	S S S B	S S S B

2.    Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”.  Pernyataan p dan q, ditulis dengan lambang “p ˄ q”.

Ingat !

Ø  Jika p dan q keduanya benar, maka p ˄ q bernilai benar.

Ø  Jika p dan q keduanya salah atau salah satu dari p atau q

salah, maka p ˄ q bernilai salah.

Tabel Kebenaran Konjungsi

p	q	p ˄ q
B B S S	B S B S	B S S S

Contoh :

a.    p      : 3 adalah faktor dari 10                  ( Salah )

q      : 3 adalah bilangan ganjil               ( Benar )

Jadi p ˄ q : 3 adalah factor dari 10 dan 3 adalah bilangan ganjil.

Nilai kebenarannya : S ˄ B = S

LATIHAN 3

1.    Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut.

a.    Matahari terbit disebelah timur dan terbenam di sebelah barat

b.    13 adalah bilangan prima dan     

c.    L. M. Badrain dosen Fisika di SKIP dan dosen Bahasa di UNRAM                   

2.    Diberikan pernyataan berikut.

p          : Udin Sakit

q          : Udin Pergi ke dokter

Tulis dengan kalimat verbal pernyataan berikut.

a.    p ˄ q                     c. ~p ˄ q

b.    p ˄ ~q                   d. ~ ( p ˄ q )

3.    a. Buatlah tabel kebenaran pernyataan ( p ˄ q ) ˄ r dan p ˄ ( q ˄ r )

b.  Bandingkan nilai kebenaran ( p ˄ q ) ˄ r dengan p ˄ ( q ˄ r ).

Kesimpulan apa yang dapat diperoleh ?

Ø  Ingkaran / Negasi dari Konjungsi

Ingkaran dari konjungsi p ˄ q adalah ~ ( p ˄ q ) atau ~p ˅ ~q

   ~(p ˄ q)  ~p v ~q

Bukti :

p	q	~p	~q	p ˄ q	~(p ˄ q)	~p v ~q
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B S S S	S B B B	S B B B

C.   Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi

1.    Implikasi

Dari dua pernyataan p dan q yang diketahui dapat dibentuk pernyataan baru yang berbentuk “ jika p maka q “, yang disebut dengan Implikasi. Implikasi dilambangkan dengan p → q.

Pernyataan p disebut anteseden (sebab/alasan/hipotesis) dan pernyataan q disebut konsekuen (akibat/konklusi).

Pernyataan p → q dapat dibaca :

a.      p hanya jika q                                  d. q jika p

b.      p syarat cukup untuk q                e. jika p maka q

c.      q syarat perlu untuk p

Tabel Kebenaran Implikasi

p	q	p → q
B B S S	B S B S	B S B B

 Ingat !

Implikasi p → q bernilai salah jika p benar dan q salah

Ø  Implikasi Logis

Implikasi logis adalah implikasi yang selalu bernilai benar. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap komponennya disebut TAUTOLOGI.

Contoh :

              Buatlah tabel kebenaran ( p ˄ q ) → p.

p	q	p ˄ q	( p ˄ q ) → p
B B S S	B S B S	B S S S	B B B B

Ø  Biimplikasi

Dari 2 pernyataan p dan q dapat dibentuk pernyataan baru ( p → q ) ˄ ( q → p ). Pernyataan baru ini di sebut implikasi dua arah atau biimplikasi atau bikondisional

Biimplikasi ( p → q ) ˄ ( q → p ) dapat ditulis dengan lambing  p ↔ q

p ↔ q dapat di baca :

a.    Jika p maka q dan jika q maka p           d. q syarat perlu dan cukup bagi p

b.    p jika dan hanya jika q                            e. p ekuivalen dengan q

c.    p syarat cukup dan perlu bagi q

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p	q	p ↔ q
B B S S	B S B S	B S S B

      Ingat !

p↔q bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau keduanya salah

p↔q bernilai salah jika ada salah satu p atau q yang bernilai salah

Ø  Negasi dari suatu Implikasi

Ingkaran dari implikasi p → q adalah ~ (p → q ) atau p ˄ ~q

~ (p → q )  p ˄ ~q

Bukti :

p	q	~q	p→q	~(p→q)	p˄~q
B B S S	B S B S	S B S B	B S B B	S B S S	S B S S

                                                                                                                              

         LATIHAN 4

1.    Tentukan nilai kebenaran dari implikasi beriikut

a.    jika  maka 32 habis dibagi 5

b.    jika 8 adalah bilangan genap maka 8 habis dibagi 2

c.    jika 3 < 5 maka -3 < -5

2.    Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan :

a.    q → p

b.    ~p → ~q

3.    Selidikilah dengan tabel kebenaran,apakah pernyataan-pernyataan berikut merupakan implikasi logis atau bukan.

a.    p ˅ ( p ˄ q )→ p

b.    ~p →( p→q )

c.    ( p ˅ ~q )→ p

4.    Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut.

a.     jika dan hanya jika 2 bilangan prima

b.    Jakarta ibu kota RI jika dan hanya jika Tokyo ibukota Jepang

5.    Tulislah ingkaran dari pernyataan berikut.

a.    jika ada api maka ada asap

b.    jika guru tidak dating maka murid senang

2.    Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi baru yaitu :

a.    q → p disebut konvers dari p → q

b.    ~p → q disebut invers dari p → q

c.    ~q → ~p disebut kontraposisi dari p → q

Nilai kebenaran dari implikasi p → q dengan konvers, invers, dan kontraposisi dapat dilihat pada table :

p	q	~p	~q	p →  q	q → p	~p → ~q	~q → ~p
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B S B B	B B S B	B B S B	B S B B

Hubungan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat digambarkan sebagai berikut :

contoh:

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut

 “jika ozy lulus ujian maka rata-rata nilainya 8. “

jawab :

Konvers              : jika rata-rata nilainya 8 maka ozy lulus ujian.

Invers                  : jika ozy tidak lulus ujian maka rata-rata nilainya tidak 8.

Kontraposisi       : jika rata-rata nilainya tidak 8 maka ozy tidak lulus ujian.

LATIHAN 5

1.    Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut.

a.    Jika n bilangan genap maka n habis dibagi 2

b.    Tidak buta warna adalah syarat perlu untuk dapat menjadi dokter

c.    Jika x < 6 maka x <10

d.    Surya senang hanya jika surya naik kelas

e.    Jika ozy rajin belajar maka nilai ozy baik.

D.   Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

Kalimat berkuantor adalah pernyataan mengenai objek yang memakai ukuran kuantitas, seperti semua (setiap), beberapa (ada atau sekurang-kurangnya).

Ada 2 jenis kalimat berkuantor, yaitu : kuantor universal dan kuantor eksistensial

1.    Kuantor Universal

Kuantor universal dilambangkan dengan , dibaca  “untuk setiap x atau untuk semua x“. jika P(x) menyatakan suatu kalimat terbuka, maka P(x) adalah suatu pernyataan yang berarti “untuk setiap x, berlaku P(x)”.

Contoh :

a.    Semua makhluk hidup pasti bernafas

b.      R,  ≥ 0

2.    Kuantor Eksistensial

Kuantor Eksistensial dilambangkan dengan, dibaca “ada x” atau “beberapa x” atau “terdapat x”. jika P(x) menyatakan suatu kalimat terbuka, maka P(x) adalah suatu pernyataan yang berarti “ada x, sehingga berlaku P(x)”.

Contoh :

a.    Ada mahasiswa yang tidak masuk kuliah

b.      B, 4x + 7 = 12

LATIHAN 6

1.    Tentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor universal berikut.

a.       R, +5 ≥ 5

b.    , 4x - -8 < 0

c.    , 4x + 8 =20

d.      A, 2x adalah bilangan genap

e.    ,

2.    Tentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor eksistensial berikut.

a.     A,  < 5

b.      R,

c.    , 2x + 7 = 5 dan

d.    , x merupakan segitiga siku-siku sama sisi

e.      B,

Ø  Negasi Kalimat Berkuantor

a.    Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat berkuantor eksistensial.

b.    Negasi kalimat berkuantor eksistensial adalah kalimat berkuantor universal.

Jika terdapat kalimat kuantor universal () p() dan kalimat berkuantor eksistensial ) p(x), maka negasi keduanya ditulis sebagai berikut :

~() p()  ) ~p(x)

~) p(x)  () ~p()

Contoh :

Tentukan negasi dari pernyataan berikut

1.    p    : Semua siswa SMA gemar Matematika

~p  : Tidak semua siswa SMA gemar matematika

      : beberapa siswa SMA tidak gemar matematika

      : Ada siswa SMA yang tidak gemar matematika

2.    p    : Beberapa bilangan asli habis dibagi 2

~p  : semua bilangan asli tidak habis dibagi 2

3.    p    : Beberapa P adalah Q

~p  : semua P adalah tidak Q

LATIHAN 7

1.    Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut.

a.    Setiap bilangan prima adalah bilangan ganjil

b.    Semua segi empat jumlah besar sudut-sudutnya

c.      R,

d.      R,  > 0

e.      B,

E.   Penarikan Kesimpulan

Dalam logika matematika, cara penarikan kesimpulan, yaitu :

1.    Modus Ponens

Jika p → q bernilai benar dan p bernilai benar maka q bernilai benar

Premis 1        : p → q

Premis 2        : p

Konklusi        : q

Contoh :

Premis 1        : jika 2x – x² + 8 = 0 maka x = 2

Premis 2        : 2x – x² + 8 = 0

Konklusi        : x = 2

2.    Modus Tollens

Jika p → q bernilai benar dan ~q bernilai benar maka ~p bernilai benar

Premis 1        : p → q

Premis 2        :~q

Konklusi        : ~p

Contoh :

Premis 1        : jika a = b maka a + c = b + c

Premis 2        : a + c  b + c

Konklusi        : a  b

3.    Silogisme

Jika p → q dan q→r keduanya bernilai benar maka p → r juga bernilai benar

Premis 1        : p → q

Premis 2        : q → r

Konklusi        : p → r

Contoh :

Premis 1        : jika adi izin sekolah maka ia pergi ke sungai.

Premis 2        : jika adi pergi ke sungai maka ia mancing ikan

Konklusi        : jika adi izin sekolah maka ia pergi mancing

LATIHAN 8

1.    Tunjukan sahnya penarikan kesimpulan modus tollens adalah sah dengan menunjukkan bahwa implikasi [ ( p → q ) ˄ ~q )] → ~p merupakan tautology.

p	q	~p	~q	p→q	(p→q) ˄ ~q	[(p→q)˄~q]→~p
B B S S	B S B S	… … … …	… … … …	… … … …	… … … …	… … … ...

2.    Tunjukan sahnya penarikan kesimpulan modus ponens adalah sah dengan menunjukkan bahwa implikasi [ ( p → q ) ˄ p )] → q merupakan tautology.

p	q	p→q	(p→q) ˄ p	[(p→q)˄p]→q
B B S S	B S B S	… … … …	… … … …	… … … …

F.    Metode Pembuktian

1.    Bukti langsung

Untuk membuktikan suatu rumus matematika dengan bukti langsung,kita dapat menggunakan definisi, aksioma, sifat,maupun dalil-dalil yang telah dipelajari.

Contoh :

Untuk setiap x, y, € R berlaku

Bukti :

Untuk setiap x,y  R berlaku:

Terbukti :

LATIHAN 9

Buktikan dengan bukti langsung pernyataan berikut.

1.    Jika n bilangan bulat genap, maka  bilangan genap.

2.    Untuk semua x,y € R berlaku

3.    Jika n habis dibagi 5, maka  habis dibagi 25

4.    Jika - 5x-14 =0 maka x= -2 atau x= -7

5.    Untuk semua n bilangan ganjil berlaku  bilangan ganjil

2.    Bukti Tidak Langsung

a.  Bukti tidak langsung dengan Kontraposisi

Untuk membuktikan tak langsung, dengan langkah-langkah sebagai berikut!

Misalkan akan dibuktikan sifat matematika p → q. Pembuktian dilakukan dengan membuktikan ~q → ~p. Dalam hal ini, diketahui  ~q bernilai benar dan implikasi bernilai benar, kemudian dengan langkah-langkah ynga benar, pasti dihasilkan ~p benar

Contoh :

Buktikan jika x dan y  bilangan ganjil, maka x + y bilangan genap.

Jawab :

Missal : p   : x dan y bilangan ganjil.

q   : x + y bilangan genap.

bukti :

kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah :

“ jika x + y bukan bilangan genap maka x atau y bukan bilangan genap”.

Diketahui jika x + y bukan bilangan, berarti x + y bilangan ganjil. Oleh karena itu, x atau y merupakan bilangan ganjil berarti x atau y bukan bilangan genap. Jadi terbukti bahwa, jika x dan y bilangan ganjil maka x + y bilangan genap.

b.      Bukti tidak langsung dengan Kontradiksi

Untuk membuktikan sifat matematika yang berupa implikasi p → q, diandaikan tidak q. jika dihasilkan suatu kontradiksi (sesuatu yang salah misalkan tidak p karena yang diketahui adalah p), berarti pengandaian salah sehingga harus diingkar. Jadi diperoleh q.

Contoh :

Buktikan 2 + 3 = 5

Bukti:

Andaikan 2 + 3  5 maka 2 + 3 – 3  5 – 3 atau 2  2. Hal ini kontradiksi dengan ketentuan bahwa 2 = 2. Pengandaian 2 + 3  5 harus diingkar sehingga 2 + 3 = 5. Jadi terbukti 2 + 3 = 5.

LATIHAN 10

1.    Buktikan pernyataan berikut menggunakan bukti tidak langsung dengan kontraposisi :

a.     Jika x + y > 20 maka x > 10 atau y > 10

b.    Jika

2.    Buktikan pernyataan berikut menggunakan bukti tidak langsung dengan kontradisksi:

a.    Jika a > b dan b > c maka a > c

b.    Untuk x  R berlaku 2 + sin x > 0

DAFTAR PUSTAKA

Kartini.dkk. 2004. Matematika untuk Kelas X-jilid 1b. Klaten: Intan Pariwara

Siwanto . 2005. Matematika Edukatif 1 Konsep dan Aplikasi untuk Kelas X. Solo : Tiga Serangkai.